矩阵相似与合同专题
矩阵相似
A~B↔存在可逆矩阵P使P^(-1)AP=B。相似矩阵有相同的特征值、秩、迹、行列式。判断相似：①特征值相同是必要条件而非充分条件。②实对称矩阵相似↔特征值相同。
矩阵合同
A与B合同↔存在可逆矩阵C使C^TAC=B。合同保持对称性和正负惯性指数。实对称矩阵合同↔正负惯性指数相同（即标准形中正项数p和负项数q相同）。
相似与合同的区别
| 相似 | 合同 | |
|---|---|---|
| 定义 | P^(-1)AP=B | C^TAC=B |
| 不变量 | 特征值、秩、迹 | 秩、正负惯性指数 |
| 关系 | 相似⇒等价，相似⇏合同 | 合同⇒等价，合同⇏相似 |
正交相似（正交矩阵Q使Q^TAQ=B）同时满足相似与合同。