二次型标准化典型例题
方法一：正交变换法
步骤：①写出二次型矩阵A（对称矩阵）。②求A的特征值λ₁,λ₂,λ₃。③求各特征值对应的特征向量并正交化单位化。④得到正交矩阵Q。⑤令x=Qy，则f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²。
优点：保持几何形状不变（正交变换不改变向量的长度和夹角）。缺点：计算量较大。
方法二：配方法
步骤：①先对含平方项的变量配方。②再对不含平方项的做可逆线性变换。③逐次配方直到化为标准形。
示例：f=x₁²+2x₁x₂+2x₂²=(x₁+x₂)²+x₂²。令y₁=x₁+x₂,y₂=x₂→f=y₁²+y₂²。
优点：计算简单快速。缺点：规范形唯一但标准形不唯一。
两种方法的选用
求标准形可用配方法（计算量小）。求规范形或正负惯性指数可用配方法。需要正交矩阵时（如实对称矩阵对角化）必须用正交变换法。填空题优先配方法节省时间。