多元函数微积分重点
多元函数微积分在考研数学中占10-15分。
一、偏导数与全微分
偏导数定义：∂f/∂x=lim(Δx→0)[f(x+Δx,y)-f(x,y)]/Δx
全微分：dz=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
链式法则：z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)→∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)
二、隐函数求导
F(x,y)=0→dy/dx=-F_x/F_y
F(x,y,z)=0→∂z/∂x=-F_x/F_z, ∂z/∂y=-F_y/F_z
三、多元极值
无条件极值：先求驻点(f_x=0, f_y=0)，再判断AC-B²的值(A=f_xx,B=f_xy,C=f_yy)
AC-B²>0且A>0→极小值；AC-B²>0且A<0→极大值；AC-B²<0→非极值
条件极值：拉格朗日乘数法L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
四、二重积分
直角坐标：∬f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy
极坐标变换：x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdrdθ
交换积分次序：根据积分区域重新确定积分限