考研数学线性代数核心公式与结论

线性代数题型稳定、套路明确，掌握核心结论可以快速解题。

一、行列式

|AB|=|A||B|, |A^T|=|A|, |A^(-1)|=1/|A|, |kA|=k^n|A|

范德蒙行列式：|a_i^(j-1)|=∏(a_j-a_i)(j>i)

逆矩阵：A^(-1)=A*/|A|, (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)

秩的性质：r(A)=r(A^T)=r(AA^T), r(AB)≤min(r(A),r(B)), r(A+B)≤r(A)+r(B)

n维向量组α₁,...,α_m线性相关↔r(α₁,...,α_m)＜m

向量组线性无关↔r=m

向量β可由α₁,...,α_m线性表出↔r(α₁,...,α_m)=r(α₁,...,α_m,β)

齐次方程组Ax=0：有非零解↔r(A)＜n(列数)

基础解系含n-r(A)个线性无关的解向量

非齐次方程组Ax=b：

有解↔r(A)=r(A|b), 唯一解↔r(A)=r(A|b)=n

无穷多解↔r(A)=r(A|b)＜n

|λE-A|=0求特征值，(λE-A)x=0求特征向量

∑λ_i=∑a_ii(迹), ∏λ_i=|A|

A可对角化↔A有n个线性无关的特征向量

实对称矩阵必可正交对角化

标准形：f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+...+λ_ny_n²

正定二次型↔所有特征值>0↔各阶顺序主子式>0