傅里叶级数专题
傅里叶级数是数一的专属考点。
周期2π函数的傅里叶级数
f(x)=a₀/2+∑(a_n cos nx+b_n sin nx)。a_n=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos nx dx(n=0,1,2,...)。b_n=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin nx dx(n=1,2,...)。
正弦级数与余弦级数
f(x)为奇函数（f(-x)=-f(x)）→a_n=0，展开为正弦级数。f(x)为偶函数（f(-x)=f(x)）→b_n=0，展开为余弦级数。
周期延拓与半幅展开
若f(x)定义在[0,π]上，需进行奇延拓（得到正弦级数）或偶延拓（得到余弦级数）后展开。
狄利克雷收敛定理
f(x)在一个周期内只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则傅里叶级数收敛于：在连续点→f(x)；在间断点→[f(x-)+f(x+)]/2。