特征值与二次型专题
特征值和二次型是线性代数的大题常考点。
特征值与特征向量
定义：Aα=λα（α≠0）。特征方程：|λE-A|=0。特征值λ的特征向量：(λE-A)x=0的非零解。
性质：特征值之和=迹tr(A)，特征值之积=|A|。不同特征值对应的特征向量线性无关。
矩阵对角化
A可对角化↔A有n个线性无关的特征向量。P^(-1)AP=Λ（Λ为特征值对角阵，P为特征向量矩阵）。
实对称矩阵必可正交对角化：存在正交矩阵Q使Q^TAQ=Λ。
二次型标准化
二次型f(x)=x^TAx。正交变换法：x=Qy→f=λ₁y₁²+...+λ_ny_n²。
配方法：通过配方将二次型化为标准形。合同变换：A与B合同↔存在可逆矩阵C使B=C^TAC。
正定性判断
正定↔所有特征值>0↔各阶顺序主子式>0↔标准形系数全正。