三重积分与重积分应用
三重积分是数一的专属内容。
三重积分计算方法
直角坐标：∭f(x,y,z)dV=∬dxdy∫f(x,y,z)dz。柱坐标：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,dV=rdrdθdz。适用于积分区域为柱体或旋转体。球坐标：x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,dV=ρ²sinφdρdφdθ。适用于积分区域为球体或锥体。
重积分的几何应用
平面面积：A=∬dxdy。空间曲面面积：S=∬√(1+z_x²+z_y²)dxdy。体积：V=∬z(x,y)dxdy（曲顶柱体）或V=∭dV。
重积分的物理应用
质量：M=∬ρ(x,y)dσ（面密度）或M=∭ρ(x,y,z)dV（体密度）。质心（重心）：x̄=∬xρdσ/M。转动惯量：I_x=∬y²ρdσ。